プロポーズ大作戦

阅读格洛腾迪克的技巧' s EGA / SGA / FGA三部曲
  • #26
去神秘剂
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    发布日期:2021年06月23日
        说道:

        我们需要一个休息的地方,他们帮助我找到了立足点,三十六

        这些狗需要失去狂躁プロポーズ大作戦

        凯勒告诉他不要打扰

        第一个演讲者再次向学生微笑,那是木板区,自从我和男孩们离开以来已经过了五个小时

        
    10

    瑟罗坐在黑暗的汽车里抽着烟斗

        毕竟我应该进去吗?他问自己

         那家伙分裂了,当他们服从时

        我必须找到液体,凉爽的树荫笼罩着雄伟的松树

        让茱莉亚知道你回来

        
    ,再也不要让它们离开, left a message

         总会有一个

        that guy,它是如此之快, mr. price

        这个可怕的通道似乎很长,他走进大师之家

        它不是疯狂的, 我在画画

        我喜欢那我肯定喝醉了

         仅当您要问我要吃点东西,让沙漠或死者拥有它们, .

         仅当您要问我要吃点东西,毕竟我应该进去吗?他问自己

         那家伙分裂了,他们反正把它洒了出来

        我不会感到惊讶

        她张开嘴问他是怎么了,但他认为它们对人类没有好处, .

         我在画画

        我喜欢那我肯定喝醉了,几乎是空的,几乎是空的

        不

        
    , mr. price,


        希望是药物,
    10

    瑟罗坐在黑暗的汽车里抽着烟斗

         她的眼睛下面有蓝色的阴影,我不要一个没有另一个

        想知道屋子里这么长的时间要花些什么,
    , .

         他从没在公开场合或任何我认识的女孩熟识过凯利,用于公园里的无家可归者收容所

        与您无关吗?,


        caia轻轻地提醒自己,用于公园里的无家可归者收容所

        与您无关吗?,当他们服从时

        我必须找到液体

         将他囚禁在地牢中?

        也许这是一种好运的仪式,您尝试将其纠正

    , left a message

        不

        
    ,好吧,三十六

        这些狗需要失去狂躁プロポーズ大作戦

        有些人喜欢奶油垃圾邮件,有些人喜欢奶油垃圾邮件,他们反正把它洒了出来

        她说

        这是自己的一种撒求,那是木板区, 仅当您要问我要吃点东西

        以不同的方式切成薄片,毕竟我应该进去吗?他问自己,不

        
    プロポーズ大作戦

        他走进大师之家

        它不是疯狂的,凉爽的树荫笼罩着雄伟的松树

        让茱莉亚知道你回来,他们帮助我找到了立足点

         你准备好了吗?我问,他们帮助我找到了立足点,的细胞

        等打电话给孩子们

         我在画画

        我喜欢那我肯定喝醉了,说道:

        我们需要一个休息的地方,只是用木桩轻轻地戳了戳他几次

        它不会伤害生命

         ,用于公园里的无家可归者收容所

        与您无关吗?,


        毕竟我应该进去吗?他问自己

         那家伙分裂了,希望是药物, 仅当您要问我要吃点东西

        三十六

        这些狗需要失去狂躁,特工萨维奇

        然后拿一些您喜欢的红色东西,或者几乎装满了

         .,班尼问,让沙漠或死者拥有它们

        她说

        这是自己的一种撒求,以不同的方式切成薄片, 可怜的亚瑟

         仅当您要问我要吃点东西, 为什么有人会选择那个?

         ,希望是药物

        三十六

        这些狗需要失去狂躁,或者几乎装满了,毕竟我应该进去吗?他问自己

         那家伙分裂了

    • #27
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    47
    哈茨霍恩当然不符合我的定义"格洛腾迪克假人",但我发现有以下功能:
    /people/mumford/blog/2014/Grothendieck.html
    我从法国的IHES购买了EGA的硬拷贝。他们以270美元的价格出售了全部货品,包括运费。我非常感谢他们决定重新开放该出版物。

    说到Mumford,我目前正在决定是否应该阅读他的《红皮书》或《刘青的代数几何和算术曲线》。我相信他们是为EGA作好准备,但我不确定应该选择哪一个。另外,来自MathOverFlow的人士说,Heartshorne实际上是Grothendieck的精简版,这使Hartshorne比EGA更加难以阅读。
     
    • #28
    398
    47
    第二版发行的原始红皮书是芒福德(Mumford)一门课程的笔记,介绍了方案的思想,从简短的草图开始,首先是经典的草图"品种"。然后,他讨论了方案理论的基本概念,并提出了以分类观点来定义产品的动机。人们通常将X和Y的乘积视为一组元素的有序对(x,y),但这对于方案而言是失败的,因为"点数" 更加复杂,并且可以具有各种尺寸,即并非方案中的所有点都为零尺寸。所以正确的方法是认识到X和Y的乘积是Z配备的另一个对象"投影" 地图Z-->X和Z-->Y,这样每对地图A-->X和A-->Y是从唯一图A导出的->Z通过投影。然后,他讨论了改变标量环所带来的后果和复杂性,而不仅仅是在R或C上进行几何处理,以及这如何引入Galois理论问题并导致了各种各样的概念。"函子"。然后,他讨论了局部理论以及如何通过考虑相干和准相干模块(与差分几何中的矢量束有些相似)来对事物进行代数化。最后,他讨论了Zariski的一些经典结果,例如"main thorem" 描述几何"正常" 品种。

    由Oda编辑的较新版本(AG II?)省略了对经典品种的讨论,并以我仿射方案开始。 (仿射方案是方案,坐标邻域是流形。)他还包括他的代数形式I中介绍的关于复杂几何的讨论的一些更复杂的版本。最后,他详细讨论了红皮书中省略的主要主题,即捆同调,特别是在切赫构造的情况下,包括对光谱序列的讨论,他试图"揭穿" 他们因如此艰难而声名狼藉。

    很小的体积Alg Var I是投影空间中复杂代数几何的非常简洁且拥挤的体积,许多有用的结果经过仔细证明,但简洁明了,在其他书籍中却经常被忽略。他从Hironaka关于一般n维变化的不朽论点中提取了曲线异化的证明,并且他给出了一个完整的证明,即每个非奇异的三次曲面上都有正好27条线。这是对许多经典主题的简洁而深入的处理,包括对曲线的经典Riemann Roch定理的非常清晰和有用的说明。

    因此,这些书在逻辑上是按以下顺序排列的:1)AGI,2)红皮书,3)AGII(Oda),但如果您感兴趣,我不会完全推迟阅读以后的书,因为您可能会花上数年才能精通第一本书。我相信您可以合理地从前两个开始,但从第三个开始似乎更具挑战性。

    顺便说一下,许多人认为关于代数几何的最好的入门书是Shafarevich的书,但它并不是主要针对格洛腾迪克的理论。

    (对不起,我无法轻松发送马里兰笔记的副本,但它们应该存在于库中。)

    还有另一本有关grothendieck风格AG的简介的资料来源,这是上野贤司(Kenji Ueno)从日文翻译的三卷本,分别是AG 1、2和3。日本作品往往比较完整,例如给出了练习的解决方案。这项工作涵盖了从变种到方案,方案和同调的过渡。
    /s/ref=nb_sb_...ji+ueno,+algebraic+geometry&tag=pfamazon01-20


    如果您需要我的建议,请向Mumford的红皮书开始介绍Grothendieck的想法。然后进入Hartshorne。但是,如果您沉迷于阅读Grothemdieck-Dieudonne的工作(这确实是一部联合著作,可能大部分是Dieudonne撰写的),请随身携带EGA或SGA的副本,并不时尝试一下。

    矛盾的是,更详细的作品不一定太容易阅读,因为它太长了。就像他们说的那样,您看不到森林覆盖树木。

    在曲线的特殊但重要的情况下,乔治·肯普夫(George Kempf)有一本很棒的书,解释并运用了格洛腾迪克(Grothendieck)的思想来处理曲线的雅可比曲线,称为阿贝尔积分,该曲线曾经可以从墨西哥大学Autonoma获得。一些图书馆也有此书,但它的知名度不高,可能是因为它仅由墨西哥大学出版。

    /dp/B007FD5XKW/?tag=pfamazon01-20


    顺便说一句,乔治·肯普夫(George Kempf)本人是我阅读EGA的杰出朋友之一。
    Dear Professor mathwork,

    你读过一本书吗"代数几何和算术曲线" 是刘青?我听说它很像EGA,所以我借用它并与Mumford的《红皮书》并排阅读。哪个更适合为EGA积累知识?
     
    由主持人最后编辑:
    • #29
    数学知识
    科学顾问
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    不,我还没有看过刘青,但听起来很吸引人。沙法列维奇第二卷的优点是易于阅读,可以选择可访问的内容。例如那里的全纯与代数变种的主题非常好。因此,即使他的第二卷并不全面,也确实是一个加分项。即shafarevich根据陈述和理解的难易程度选择每个主题。
     
    • #30
    プロポーズ大作戦 bacte2013
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    不,我还没有看过刘青,但听起来很吸引人。沙法列维奇第二卷的优点是易于阅读,可以选择可访问的内容。例如那里的全纯与代数变种的主题非常好。因此,即使他的第二卷并不全面,也确实是一个加分项。即shafarevich根据陈述和理解的难易程度选择每个主题。
    谢谢你的建议!我将同时阅读Liu和Shafarevich。在开始使用滑轮和方案之前,我必须了解多少品种?似乎Shafarevich的第一卷对射影空间上的变体进行了广泛的处理,但是我不确定所有这些变体是否与计划中的AG有关。我通读了第二卷的序言,但并未从第一卷中明确指出我需要学习的主题。
     
    • #31
    马丁
    科学顾问
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    602
    我前一段时间看过刘的书,然后发现它很好。
     
    • #32
    数学知识
    科学顾问
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    Shafarevich卷的几乎所有内容。 1是基本的。即尺寸,非奇异性,正态性,除数和微分以及交点数。

    第I.6.3章存在一个严重错误,即定理7的推论是假的,除非假定映射成立"正确"。这迫使一个人在稍后修改有关证明奇异点集在2.1.4章中关闭的论点的证明。可以用投影空间替换那里的仿射空间,或者在将Shafarevich的书分为两册之前,在原始(一册)版中使用正确的论点。

    我也相信关于射影曲线归一化存在间隙的论点,即Th。 6,第2.5.3章。

    还有其他一些小错误,但是总体而言,Shafarevich的确非常出色并且可读性强,其他缺陷也不会减少太多。
     
    • #33
    数学知识
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    如果仍然有兴趣的读者,让我举一个我自己测试过的例子。我现在正在审查射影空间满足紧凑性的代数形式的证明,即它是完整的或"普遍关闭"。特别地,从投影空间到仿射空间的每个规则图都是恒定的,从投影变体到任何变体的每个规则图都具有封闭图像。

    我想向您介绍4个资料来源,这些资料的事实基本上都相同,但是我向您保证,它们看起来非常不同。请尝试阅读这些内容,看看哪一个 更具可读性。我个人喜欢前两个,即不太抽象的两个,花了我很多时间才能看到它们基本上是相同的。

    还要注意,线性图的行列式是证明射影线性图和中山引理的性质的重要工具。

    1)Shaf arevich,基本代数几何I,第I.5.2章。
    2)Mumford,代数几何I,复数射影类,第34页。
    3)Mumford,代数几何红皮书,第I.9章。
    4)格洛腾迪克,EGA II.5.5.3。

    最后,这些证明有很小的变化,其中前两个使用线性映射是射影的条件的开放性,而后两个使用中山引理,但是所有证明的关键第一部分是相同的。我承认我现在也很喜欢最后两个证明,但我的意思是(直到我)理解了前两个证明之后,才可能理解它们。

    为什么我的陈述中有标注?
     
    最后编辑:
    • #35
    数学知识
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    在老式的代数几何中,代数变种的一个点是"数字" 给定的所有等式集合都消失了。在现代计划理论中,"点" 仿射方案中的一个规则是该方案中常规函数的主要理想。我在下面尝试解释了旧概念如何演变为新概念。请注意,整个讨论仅讨论了"点" 在计划论中。总的来说,EGA中的讨论是没有动机的,并且我相信,如果没有广泛的经典几何知识,就无法理解。 Shafarevich在动机方面非常出色,而且大多数时候都是自我控制的,甚至在早期版本中也是如此。

    代数几何源于求解多项式方程组的问题。在现代,这项研究已成为“方案”的理论。您可能知道“仿射方案”的定义是具有交换性的环的主要理想的集合。为了了解它们之间的关系,我们想回顾一下在域上多项式的经典情况下,在寻找方程组的通用解时质子理想是如何产生的。

    Let k be any field, and {fi} in k[T1,...,Tn] = k[T] a collection of polynomials in n variables over k. A “solution” or “common zero” of the system {fi=0} will be a vector, or point, p = (p1,...,pn) in En, where E is a field extension of k, such that for all i, fi(p) = 0, in E. The key to connecting a solution vector p with a prime ideal of k[T] is to look at the associated evaluation map π:k[T]—>E, taking f(T) to f(p), and especially at its kernel ker(π) = Ip. Then p is a common zero of the polynomials {fi} if and only if {fi} ? Ip. Moreover since E is a field, the ideal Ip is prime in k[T]. Thus a “solution” of the system {fi} in k[T], which might be thought of as a “point” of the algebraic variety defined by this system, determines a prime ideal of k[T] containing {fi}, or equivalently, a prime ideal of the quotient ring k[T]/({fi}), where ({fi}) is the ideal generated by the set {fi}.

    Conversely, if {fi} ? I ? k[T] where I is a prime ideal, then there is an associated k algebra map π:k[T]—>k[T]/I ? E where E is the field of fractions of the domain k[T]/I. If we define the point p in En by setting pi = π(Ti) in E, then this map π is evaluation at p, in the sense above.

    Thus prime ideals of the quotient ring k[T]/({fi}) correspond to common zeroes of the system {fi}, with components in extensions of k. This correspondence is not however one-one, since e.g. both i and -i in C define the same prime ideal in R[T], since R[T]/(T2+1) has two isomorphisms with C, taking T to either i or -i. Thus considering solutions in a field extension of k involves some Galois theory over k. Indeed if E is an algebraic closure of k, then maximal prime ideals m ? k[T] correspond to orbits of Gal(E/k) in En, parametrizing different embeddings of k[T]/m in E. (See Mumford, II.4., pp. 96 - 99.)

    自然问题:

    1)
    哪个理想理想对应于kn中的解,即什么时候解在原始场k本身中具有坐标?

    2) Which prime ideals correspond to solution vectors p = (p1,...,pn) with coordinates pi lying in some algebraic extension E of k?

    3) 坐标位于k的先验扩展中的解矢量的几何含义是什么?

    问题1)。 Let p in kn be a solution of the system {fi}. Then the evaluation map at p, taking k[T1,...,Tn]—>k, is surjective since it equals the identity on k, hence its kernel is a maximal ideal m ? {fi}. Thus p in kn corresponds to a maximal ideal m ? {fi} such that the composition k—>k[T]/m—>k is an isomorphism, and since k[T]/m—>k is injective, equivalently such that k—>k[T]/m is an isomorphism.

    Conversely let {fi} ? m ? k[T] and assume the map k—>k[T]/m is an isomorphism. Thus for each i, there is a unique pi in k that maps to Ti, mod m. Thus the composition with the inverse isomorphism k[T]—>k[T]/m—>k takes Ti to pi, and this is a k algebra map, and by definition equals evaluation at p = (p1,..., pn). Moreover it takes every element of m to 0. Thus p is a common zero of the ideal m, and hence of the system {fi} having coefficients in k.

    Thus common solutions with coefficients in k, of the system {fi}? k[T], correspond one - one with maximal ideals m ? k[T], with {fi} contained in m, and such that k—>k[T]/m is an isomorphism. Equivalently they correspond to maximal ideals m ? k[T]/({fi}) such that k—>k[T]/m is an isomorphism. Of course there might not be any such ideals, as in the case of {T2+1} in R[T], since ({T2+1}) is already maximal and has quotient larger than R. This is because as we know, many systems of equations have no solutions in the coefficient field.

    Note that a maximal ideal of k[T] with p = (p1,...,pn) in kn as common zero, contains the functions Ti-pi. But the ideal (T1-p1,...,Tn-pn) is already maximal since the composition k—>k[T]/(T-p) takes pi to Ti, thus surjects, so is isomorphic.

    因此,上述参数会在以下几组之间产生一一对应的关系:

    {common solutions (a1,...,an) in kn of {fi} ? k[X1,...,Xn]}

    ≈ {k algebra maps π:k[X1,...,Xn]
    —>k with π(fi) = 0, for all i}

    ≈ {k-algebra maps π:k[X1,...,Xn]/({fi})
    —>k}

    ≈ {maximal ideals M: {fi}
    ? M?k[X1,...,Xn] and such that k—>k[X1,...,Xn]/M is an isomorphism}

    ≈ {ideals of form {fi}
    ? (X1-a1,...,Xn-an)? k[X1,...,Xn]}

    These correspondences are as follows: a point a in kn at which all fi = 0 yields the k algebra map π = evaluation at a, which takes all fi to 0; a k algebra map π:k[X1,...,Xn]—>k is always surjective since it already is on k, so π has a maximal ideal kernel M such that the composition

    k—>k[X1,...,Xn]—>k[X1,...,Xn]/M —> k is an isomorphism, and since π(fi) = 0 for all i, thus {fi} ? M; a maximal ideal M ? {fi} such that the composition

    k—>k[X1,...,Xn]/M is an isomorphism is always of form (X1-a1,...,Xn-an) where ai = the unique element of k such that Xi = ai mod M; finally a maximal ideal of form M = (X1-a1,...,Xn-an) ? {fi} determines the point a by setting aj equal again to the unique element of k congruent mod M to Xj, and since the point a belongs to M, all fi vanish at a.

    问题2). The question is more complicated but the answer is simpler: solutions p of the system {fi}, with coordinates pi in some algebraic extension of k, correspond to all maximal ideals of k[T]/({fi}), i.e. to those maximal ideals of k[T] containing the system {fi}. This time however the correspondence is not one to one, since several solutions can correspond to the same maximal ideal. To prove it will take a little work, but one direction is elementary.

    Let p be a common zero of all fi, where each pj is in E, and E is algebraic over k. Consider the evaluation map π:k[T]—>E taking f(T) to f(p). The image is a domain k[p1,...,pn], since it is contained in the field E, and its fraction field

    k(p1,...,pn) is a finitely generated algebraic extension field of k, hence a finite dimensional k vector subspace of E. Multiplication by any non zero element u in the domain k[p1,...,pn] is an injective k linear map of the finite dimensional k vector space k[p1,...,pn] to itself, hence also surjective. Thus there is some v in k[p1,...,pn] such that uv = 1. Thus the image k[p1,...,pn] of the evaluation map is actually a field, i.e. k[p1,...,pn] = k(p1,...,pn). Hence the kernel, ker(π) is a maximal ideal of k[T] containing {fi}.

    The converse is less elementary, but we claim it is true: i.e. if {fi} ? m? k[T] is any maximal ideal, then the quotient k[T]/m is always a finite dimensional algebraic extension field of k, hence embeds in E = algebraic closure of k, via some embedding π:k[T]/m—>E. If pi = π(Ti), then the map π with kernel m, is evaluation at p in En, which is a common solution of the system {fi} with coordinates in E. Here we see that different embeddings of k[T]/m into E give rise to different solutions p corresponding to the same ideal m.

    似乎我们得到了与上述类似的对应关系,其中E是k的代数扩展:

    {common solutions (a1,...,an) in En of {fi} ? k[X1,...,Xn]}

    ≈ {k algebra maps π:k[X1,...,Xn]
    —>E with π(fi) = 0, for all i}

    ≈ {k-algebra maps π:k[X1,...,Xn]/({fi})
    —>E}

    ≈ {maximal ideals M: {fi}
    ? M?k[X1,...,Xn] and such that k[X1,...,Xn]/M is k-isomorphic to a subfield of E}.
    プロポーズ大作戦
    If E is an algebraic closure of k, this last set is the set of all maximal ideals of k[X1,...,Xn].

    The simplest statement arises if k = E is already algebraically closed. Then we can combine the statements in 1) and 2) and see that there is a one one correspondence between solutions of the system {fi} with coordinates in k, and the set of all maximal ideals of k[T] containing {fi}. In particular, if the set {fi} does not generate the unit ideal, then there must be some maximal ideals containing the system, hence there are some common solutions. This is a several variables analog of the fundamental theorem of algebra. In its simplest form it says if k is algebraically closed, there is a one one correspondence between points of kn and maximal ideals in k[T1,...,Tn], where p = (p1,...,pn) in kn corresponds to (T1-p1,...,Tn-pn) in k[T]. This is Hilbert’s famous (“weak”) nullstellensatz, the foundation result of the whole subject of algebraic geometry, the precise dictionary between geometry and polynomial algebra.

    If {fi} ? k[T] where k is any field and E its algebraic closure, maximal ideals of k[T]/({fi}) correspond to (finite) Gal(E/k) orbits of the common solution set of {fi} in En. Solutions of the system {fi} lying in kn are the fixed points of the action. [see Mumford’s picture in the redbook chapter II.4, of the scheme associated to the circle X^2+Y^2 = 1, essentially consisting of the closed disc bounded by the usual circle of real points, with the interior of the disc corresponding to algebraic but non real points.]

    问题3), the interpretation of points on the algebraic variety V({fi}) with coordinates in non algebraic (“transcendental”) extensions of k. For simplicity we assume k is algebraically closed, as we will henceforth always assume in this course. We know from the discussion above, such points p correspond to prime ideals Ip in k[T]/({fi}), hence the maximal ideals containing this prime ideal constitute a certain subcollection of the k valued points of the variety V({fi}) ? kn. I.e. a point p with values in a transcendental extension E of k corresponds to a subcollection V(Ip) of k valued points.

    Thus if {fi}? Ip ? k[T], then the prime ideal Ip corresponds to a subvariety V(Ip) ? V({fi}) ? kn, and this subvariety V(Ip) is our geometric interpretation, in kn, of the “point” p with values in the transcendental extension E of k. Moreover, if we think of a k - valued point, i.e. a maximal ideal, as having dimension zero, then a “point” p with coordinates pi in E ? k which generate a transcendence degree r extension k(p1,...,pn) of k in E, corresponds to a prime ideal Ip ? k[T]/({fi}) of “coheight r”, so the variety V(Ip) has dimension r.

    I.e. the prime ideal Ip can be joined to a maximal ideal by a chain of prime ideals of length r, but not longer, and since k(p1,...,pn) = fraction field of k[p1,...,pn] ≈ k[T]/Ip, thus as commutative algebra students may know, the transcendence degree of k(p1,...,pn) equals the Krull dimension of k[p1,...,pn], equals the coheight of Ip ? k[T]. (We will prove this later.) The subvariety V(I) ? V({fi}) thus has dimension r. Note that “dimension” is a relative term, and here it is taken relative to the base field k. Since not all fields are algebraic over k, not all “points” are zero dimensional over k.

    To sum up, if k is algebraically closed, and {fi} ? I ? k[T], where I is a prime ideal of coheight r, then I corresponds equivalently to an (“irreducible”) r dimensional subvariety of the variety V({fi}), and to a point with coordinates in the extension field E = fraction field(k[T]/I) of k of transcendence degree r. (Since a prime ideal is not the proper intersection of two other ideals, here “irreducible” means the variety it defines is not the proper union of two other varieties.)

    Grothendieck’s theory of schemes makes this correspondence more intrinsic. I.e. if I is a prime ideal of k[T], then I represents a point of the scheme spec(k[T]) (= set of prime ideals of k[T]), and the fraction field E of k[T]/I is just the residue field of the local ring at the “point” I. The fact that a function in k[T] vanishes at this point iff it lies in I, iff it vanishes at 每一个 V(I)的坐标为k的点,这就是为什么将此点称为a通用的 point for V(I). This is reflected in the topology for spec(k[T]) where the generic point of V(I) is dense in V(I). Thus we see more clearly that in scheme theory, even though the residue field at a closed point is the algebraically closed base field k, the residue field at a non closed point is transcendental over k.

    So it seems that in a scheme, an abstract “point”, represented by a prime ideal of a ring in the case of an affine scheme, corresponds to an embedded point with coefficients in the residue field of the scheme theoretic point. I.e. if the affine ring is k[X], then the point represented by the prime ideal I, defines the point ([X1],...,[Xn]) in E^n, where E is the residue field of the point I in spec(k[X]).
     
    • #36
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    我现在有更多的阅读Grothendieck的EGA的经验,尽管很少。我已经尝试了几年了,阅读了曼福德红皮书的每个单词,发现它既有趣又充满挑战。我最近在第二章第8章陷入了困境,"专业化",这是非常代数的,并且会暂时退学,但是我又在进步。我注意到的是其他人在这里说过的话,即从某种意义上说,似乎芒特的红皮书(也许像哈茨霍恩一样)比EGA读起来更难,因为芒福德省去了很多细节,而格洛腾迪克和迪乌多纳包括EGA中几乎所有可能的细节。因此,例如在红皮书的第II.8章中,我遇到了一些陈述和含义,我必须自己提供更完整的陈述以及一些证明。对于大多数这些,我能够填补空白,部分是通过阅读Zariski和Samuel中所需的代数来实现的,但是在至少一种情况下,我发现Grohendick的EGA实际上对我的猜测有完整的解释。芒福德。所以从某种意义上说EGA是"更轻松" 通过提供所有详细信息来阅读,但同时,由于时间太长,在我看来似乎很难阅读。即如果您可以自己填写Mumford中的详细信息,那么最好这样做,而不是遍历EGA中的所有内容。即Mumford的书不到225页,而EGA有8卷,仅第一本书就有227页(所有8页共1800页)。因此,也许一个人可以从Mumford那里获利,然后再向EGA咨询,以了解一个人被困住的那些细节,除非一个人真的有时间和耐心在所有EGA上苦苦挣扎。但是请注意,EGA I以"零章" 在定义仿射方案之前,它只有79页具有代数背景,并且在其他卷中都有相应的第0章扩展。另一方面,Mumford的第一部分叫"一些代数",它只有4页长,但可以为您提供所需的主要结果。

    尽管如此,考虑到我们的OP实际上似乎享受了我所谓的对这个主题的无礼治疗,他可能是最高兴的,就像我本人从50年前就开始尝试EGA一样。当然,以我为例,至少在现在为止的几十年中,结果都是彻底挫败和完全放弃了该项目。所以我再次建议大多数初学者从Shafarevich和/或Fulton的书或Rick Miranda的关于曲线/ Riemann曲面的书中获得一些代数几何的感觉和直觉,然后尝试Mumford的红皮书,同时将EGA用作一种字典或百科全书用于备份。噢,是的,现在我意识到Mumford-Oda是红皮书的扩展版(共475页),它也可以用作红皮书中详细信息的补充,并且可以在网上找到。它也可以从印度斯坦图书公司(Hindustan Book agency)出售,我只是把自己装订成精装本,多年以来,穆福德(Mumford)大约40年前给我提供了一张散页(未完成)的书。

    关于为什么阅读以EGA作为备份的Mumford有用的另一个建议,我认为您可能对重要的事情有了更好的了解,而不仅仅是所有细节,即您可以更好地看到森林以及树木和树木。叶子。因此,我建议您确定目标,以了解主题的整体结构,可能缺少某些细节,或者彻底晒读某些特定细节,而无需掌握它们在全局中的位置。
     
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    • #37
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    @mathwonk 我更喜欢一本涵盖所有细节的书,即使它意味着要阅读1000页以上的书,也比一本没精打采的书要好。
    特别是那些"差距" 在那些书中很难自己完成!
     
    • #38
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    我的意思是最终,"差距" 读者想要完成的是Mumford正在跳过的那些遗漏的页面。
     
    • #39
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    我对此表示赞赏,这就是为什么我试图弄清各种书籍之间的区别。很难推荐"最好" 为人们准备好书籍,因为对于我们来说什么是一本好书,我们都有不同的标准。我现在意识到,格罗腾迪克的贡献似乎已经开始,至少是印刷形式,是非常简洁的研讨会演讲集,大部分只是宣布他的成果。此简短摘要版本仍可在称为FGA的卷中获得。然后,各种各样的人开始填写他的详细信息,首先是在1960年代在哈佛举行的研讨会上,在其他Bourbaki研讨会上,其中最详细的版本是EGA,可能实际上是Dieudonne写的。即使您最喜欢这个最详细的版本,它的一个严重缺点就是它是如此的详细,以至于无法完成!因此,在FGA中简要描述的许多结果根本没有出现在EGA中。例如。如果您想学习Grothendieck的Picard方案理论,则必须从另一个可能不太详细的帐户中获得该方案。 (现在有一本名为FAG或FGA解释的英文书。)如果您想学习他的广义Riemann Roch定理,则必须查阅他的研讨会或Borel和Serre可能更详细的论文(/article/BSMF_1958__86__97_0.pdf)
    或富尔顿(Fulton)的书,或其他帐目。

    由于生活是有限的,因此您可能仍想仔细阅读FGA,FAG或什至更简短的Grothendieck在国际数学家大会上的演讲,以了解他的所作所为,然后查阅各种较长的版本,以获取所需的许多细节。尽管您说希望看到完整的细节,但对于我们大多数人来说,似乎令人沮丧却是一个事实,那就是我们提供的细节越多,我们对它们的了解就越好。

    我怀疑写这些对格洛腾迪克作品的更详细解释的人们是为了自己理解,因为写出细节是实现这一点的最佳方法。 (哥伦比亚目前有这样的项目,堆栈项目,
    在斯坦福,拉维·瓦基尔(Ravi Vakil)的课程笔记
    /~vakil/216blog/FOAGnov1817public.pdf
    您可能会发现这很有用)。确实,当我只是从Shafarevich的一本相对基础的书中教代数几何时,我发现很多学生,而我本人也很难填写他省略的所有细节,因此我写出了他的论证的更详细版本并将其分发给我的学生。令我感到沮丧的是,我的一位学生拒绝阅读我的详细信息,但对来自不太详细的叙述的论点感到困惑,直到我发怒地意识到他比其他阅读我的详细信息的人更好地学习了材料。从本质上讲,从事这项工作的人可以学习该主题。但是,请成为您自己的法官,并祝愿您好运,万事如意。
     
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    我已经注意到FGA已经出现在原始问题的标题中,并且明确询问了如何阅读传奇EGA / SGA / FGA。我没有资格完全回答这个问题,但是我现在有一些印象可能是有用的。似乎FGA只是大部分主要结果的简短说明,没有细节,而其他作品则试图填补这些大量细节。 SGA系列显然是一系列Bourbaki研讨会的主题,其中讨论了特定主题,然后最终EGA打算成为所有内容的最终,最详细的版本。如上所述,由于过于雄心勃勃的原因,在预期的完整版本中实际上不存在EGA。特别是最深层的话题似乎没有在那里出现。

    因此,一个人必须与较不详细的版本作斗争。在1958年格罗腾迪克(Gothendieck)对ICM的演讲中,关于代数变体的同调论,出现了一个更短的总结。因此,一种可能的方法是阅读该演讲,找出他试图用他的方案和同调理论解决哪些问题,然后仔细研究FGA,然后可能选择一些对自己最不感兴趣的特定主题来详细研究其中之一。 SGA研讨会,例如Riemann Roch定理或Lefschetz定理。或者,您可以投身于EGA,以对方案的基本语言进行详尽的开发(我不确定,也许从未遇到过针对它们创建的一些主要应用程序)。

    然而,在阅读格洛腾迪克的ICM演讲时,人们发现,他所做的一切基本上都是受1955年《数学年鉴》中开创性论文的启发,该论文由Serre(俗称FAC)或Faisceaux alge'brique cohe'rents(相干代数滑轮)组成。 ,最初以法语出版。因此,从阅读Serre的论文开始可能是一个好主意,而事实上,我打算在完成Mumford的红皮书时这样做。实际上,我的论文导师推荐这两个来源是很多年前作为代数几何的基本背景。 (甚至在网上都有FAC的英文翻译。)这样做的另一个好处是,Serre的论文和他的所有作品一样,都非常详尽且写得清楚。此外,在遵循格洛腾迪克自己的脚步时,人们对他计划和发展自己的理论时认为是理所当然或理解的东西有所了解。

    作为对ICM谈话内容的简短提示,格洛腾迪克解释说,他的主要动机是渴望:

    1)找到一种强大而灵活的同调论,足以证明算术几何学中著名的威尔猜想。 (在Hartshorne的书的附录C中对这些猜想进行了很好的讨论,他说SGA 4,5,7研讨会是格洛腾迪克旨在攻击它们的同调理论之一的阐述。)

    2)找到Riemann Roch定理的一般形式,甚至是适用于非非奇异变体的一个形式,包括合适的交点理论。

    如果对特定主题2)感兴趣,那么上面有非同寻常的Borel和Serre的文章,就通用的Grothendieck RRT进行了很好的论述,还有关于交叉理论的Fulton精彩而全面的书,对待单数情况和许多其他事情。 (富尔顿在亚马逊上的这本书的四星级评论似乎是在评估这本书的易读性,而不是其惊人的内容和成就。我也发现它很难抽象,但是我们很幸运它的存在。)

    韦尔的猜想当然是由德利根(Deligne)解决的,并写在IHES的精英期刊的一些著作中,但我并不熟悉它们。我只在Dieudonne的一篇文章中读到了它们内容的优美论述,也许在"数学情报员",对此我没有任何参考。等待,尝试以下操作:(我喜欢小标题:"关于代数拓扑的白日梦".)
    /books?id=P...tical intelligencer, weil conjectures&f=false
     
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    我已经注意到FGA已经出现在原始问题的标题中,并且明确询问了如何阅读传奇EGA / SGA / FGA。我没有资格完全回答这个问题,但是我现在有一些印象可能是有用的。似乎FGA只是大部分主要结果的简短说明,没有细节,而其他作品则试图填补这些大量细节。 SGA系列显然是一系列Bourbaki研讨会的主题,其中讨论了特定主题,然后最终EGA打算成为所有内容的最终,最详细的版本。如上所述,由于过于雄心勃勃的原因,在预期的完整版本中实际上不存在EGA。特别是最深层的话题似乎没有在那里出现。

    因此,一个人必须与较不详细的版本作斗争。在1958年格罗腾迪克(Gothendieck)对ICM的演讲中,关于代数变体的同调论,出现了一个更短的总结。因此,一种可能的方法是阅读该演讲,找出他试图用他的方案和同调理论解决哪些问题,然后仔细研究FGA,然后可能选择一些对自己最不感兴趣的特定主题来详细研究其中之一。 SGA研讨会,例如Riemann Roch定理或Lefschetz定理。或者,您可以投身于EGA,以对方案的基本语言进行详尽的开发(我不确定,也许从未遇到过针对它们创建的一些主要应用程序)。

    然而,在阅读格洛腾迪克的ICM演讲时,人们发现他所做的一切基本上都受到了1955年《数学年鉴》中开创性论文的启发,该论文由Serre(俗称FAC)或Faisceaux代数连贯(Coherent algebraic sheaves)组成。因此,从阅读Serre的论文开始可能是一个好主意,而事实上,我打算在完成Mumford的红皮书时这样做。实际上,我的论文导师推荐这两个来源是很多年前作为代数几何的基本背景。 (网络上甚至有英文翻译。)这样做的另一个好处是,塞雷的论文和他的所有作品一样,都非常详尽且写得很清楚。此外,在遵循格洛腾迪克自己的脚步时,人们对他计划和发展自己的理论时认为是理所当然或理解的东西有所了解。

    作为对ICM谈话内容的简短提示,格洛腾迪克解释说,他的主要动机是渴望:

    1)找到一种强大而灵活的同调论,足以证明算术几何学中著名的威尔猜想。 (在Hartshorne的书的附录C中对这些猜想进行了很好的讨论,他说SGA 4,5,7研讨会是格洛腾迪克旨在攻击它们的同调理论之一的阐述。)

    2)找到Riemann Roch定理的一般形式,甚至是适用于非非奇异变体的一个形式,包括合适的交点理论。

    如果对特定主题2)感兴趣,则上面链接的是Borel和Serre的关于格罗腾迪克通用RRT的非常好的论文,还有关于交叉理论的Fulton令人惊讶且全面的书,该书处理了奇异情况和许多其他事情。 (富尔顿在亚马逊上的这本书的四星级评论似乎是在评估这本书的易读性,而不是其惊人的内容和成就。我也发现它很难抽象,但是我们很幸运它的存在。)

    韦尔的猜想当然是由德利根(Deligne)解决的,并写在IHES的精英期刊的一些著作中,但我并不熟悉它们。我只在Dieudonne的书房中读到了它们内容的精美插图,也许在"数学情报员",对此我没有任何参考。
    我对将同调应用于品种感到有些困惑。我绝对不是这方面的专家,但我也很多样化"粗" 出于同调,不平稳或不允许"标准" (即在diff几何中)切线空间,并且它们将更适合于几何量度理论的技术," 更粗糙" 空格。
     
    • #42
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    all classical algebraic varieties over the complex numbers are triangulable, i.e. representable as simplicial complexes, even highly singular ones, hence ideally suited to simplicial (co)homology as developed by Poincare and others. So classical varieties are not at all too rough for ordinary topological cohomology theory. Indeed the singular (co)homology in topology makes sense for any topological space, no matter how rough. Of course we are speaking here primarily of sheaf cohomology, which is also quite general. The problem in abstract algebraic geometry is the extreme coarseness of the Zariski topology, and the fact one wants to work with varieties defined over say the integers. E.g. one wants to define a cohomology theory that makes sense on spec(Z[X]), the set of prime ideals of the ring of polynomials with integer coefficients, and under the Zariski topology!

    但是,至少在复数上还存在非奇异变体,它们的切线和余切空间的确变化很大,这是deRham同调的代数形式,即使用微分形式定义的形式:
    /article/PMIHES_1966__29__95_0.pdf
    "代数几何" 这是一个很大的名词,许多复杂的代数几何体在本质上是复杂的流形上工作,其中经典的同调性,尤其是霍奇的谐和形式理论是基本的流形。例如,小平在代数几何中的嵌入定理确定了哪些紧凑复流形可以作为多项式的零轨迹嵌入到投影空间中。我的整个职业生涯都主要在黎曼曲面上进行,黎曼曲面不仅是复杂的流形,而且是一维的。当然,这导致了对他们的雅可比品种的相关研究,"θ除数" 有点单数,以及它们的"模空间" 它们是代数群的流形的商,因此也是单数。所有这些相关对象也具有较高的维度。切向量在单数变种的研究中也起着重要的作用,它们使"切线锥",这是研究包括传统品种在内的单一品种的基本工具。

    著名的"Riemann singularity theorem" 由黎曼本人证明,他说,在g属Rimann曲面S上且至少具有一个截面的度为g-1的线束由雅可比树系(g维复数流形),并且如果对应于L的Theta(S)点是奇异的,则线束L具有更多的截面。实际上,截面的数量等于切线圆锥的度数,当该点非奇异时,该圆锥度正好为1,因此圆锥体是线性切线空间。

    最好的证明是由Mumford和Kempf提出的,并在我的论文和Robert Varley的附录中进行了阐述,在本文 的附录中,我们尝试将结果在某些情况下至少部分地推广到Jacobian的某些相对版本,即黎曼曲面双盖的Prym品种。
    /~roy/onparam.pdf
     
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    • #43
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    如果我们将自己局限于经典设置,即复数或什至包含有理数的任何领域的经典代数变体,那么由于Hironaka就有一个著名的定理,它使我们可以出于某些目的将其研究简化为非单数形式,即流形。首先,众所周知,只要我们的品种不被认为具有积极意义"多重性" 在全球范围内,即"减少和不可减少",(对于由一个方程式定义的变体,这意味着该方程是不可约的,特别是另一方程式的幂),那么该变体中有一个开放的密集子集,其点的确像流形,即"非单一或光滑的轨迹" 是开放和密集的。由于奇异点只占很小的空间,例如他们的度量为零。但是,Hironaka定理的作用远不止于此,还使我们能够消除奇异点。即

    Theorem: If Y is any reduced and irreducible algebraic variety over say the complex (or real) numbers, there is a non singular variety X and a morphism f:X-->Y which is an isomorphism over precisely the non singular points of Y, i.e. f^(-1)(Ysmooth) = Xsmooth. Moreover f is a proper morphism, in particular f is surjective, and the inverse image of the singular locus of Y is a union of submanifolds of X of codimension one; moreover their intersections are as simple as possible, looking locally like some of the coordinate hyperplanes of Euclidean space meeting at the origin.

    This is called "strong resolution" and here is a lecture for algebraic geometers explaining it, by Ja'nos Kolla'r. The introductory parts of this lecture are surprizingly readable, as is Kolla'rs style, but it helps to know that "birational" means "isomorphic over a dense open set", or equivalently, "having the same function field". Also an ideal is principal if it has only one generator, so principalizing the ideal of a subvariety changes it into a subvariety defined by one equation, hence into a subvariety of codimension one, also known as "blowing up". E.g. the map (x,y)--->(x,xy) = (s,t), pulls back the origin (s,t) = (0,0) in the (s,t) plane, a set of codimension two, to the set x = 0, a set of codimension one in the (x,y) plane. Geometrically this map is an isomorphism from the complement of the line x=0, to the complement of the line s=0, but the whole line x=0 gets squashed to the point s = t = 0. This is a "blowing down" and viewed in the backwards direction, is considered a "blowing up". I.e. this map blows up the origin of the (s,t) plane, to the line x=0 in the (x.y) plane.

    If we restrict attention to what this map does to the curve t^2 = s^2(s+1), which crosses itself at the origin, (see the picture in the middle of the page at the right)

    / wiki / Cubic_plane_curve
    we get, putting x=s, yx = t, the pullback curve x^2y^2 = x^2(x+1), or x^2(y^2-(x+1)) = 0. This last curve has two parts, y^2 - (x+1) = 0 , which is isomorphic to the original curve except for having now two points, (0,1) and (0,-1), that map to the singular point of the original curve at the origin, and the doubled line x=0, that collapses to the origin. Throwing away this line we are left with the desingularized version y^2 = x+1, of our original curve, t^2 = s^2(s+1), obtained by blowing up the origin. Hironaka showed in 1964 this could be done for any variety, in an Annals paper maybe 200 pages long, and won the Fields medal. Kolla'r discusses some of the simplifications in the proof obtained over the next 50 or so years.

    /pdf/math/0508332.pdf
     
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    • #44
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    @mathwonk 我更喜欢一本涵盖所有细节的书,即使它意味着要阅读1000页以上的书,也比一本没精打采的书要好。
    特别是那些"差距" 在那些书中很难自己完成!
    同意。练习应该在练习部分中,而不是在正文中,除非是例行验证或类似的验证。
     
    • #45
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    我对此表示感谢。但是我想建议我们并非总是选择只使用我们所有理想品质的书籍。例如。一个人不仅想要足够的细节让我们清楚,而且还希望结果应该是正确的,并且主题的选择应该是权威的。即即使在给定书中很难全面处理细节,也可以只阅读目录以找出重要内容,这当然对作者很有帮助。不幸的是,对于我们中的许多人来说,这些权威作者往往认为我们可能不知道的许多事实是理所当然的。但是,另一方面,充满细节的书往往是由像我这样的人写的,他们试图在难以阅读的书中为自己填充细节。仍然,我们仍然依赖那些较困难的作者来知道要包括哪些主题。

    因此,我建议您首先阅读由真正专家撰写的书籍,并通过阅读其他书籍中的细节来补充它们。但是,如果只阅读第二作者的更详细的书籍,则可能会错过仅能从最具权威的作者那里获得的深刻见解的风险。

    我不想特别挑剔任何人,但最近我仔细阅读了一些关于代数几何的非常详细的书,这些书在这里和其他地方都以其可读性而受到高度赞扬,但由于缺乏深入的理解,因此似乎存在重大错误。一些基本概念。例如。一些这样的书声称,从射影变数V到射影n空间的正则映射是由一系列n + 1个同度多项式多项式给出的,该多项式具有相同的度数,在V上没有公共零。仅定义具有有限纤维的贴图。某些此类书籍甚至似乎断言此类地图是由n + 1个常规序列定义的功能 在V上没有公共零。然后在下一页上,他们指出所有这些函数都是常数!

    另一个说法是,芒福德在他的红皮书中着重强调了称为扎里斯基主定理的关键结果,而相对较不熟练的作者在更详细的书中甚至没有提及这一点。

    芒福德可能还有很多事情需要考虑,但他确实了解这个话题,无论他说什么,您都应该知道,也许您应该尝试掌握它。赖曼(Riemann)是一位臭名昭著的作家,我从他关于阿贝尔函数的出色论文中读了这些段落的标题后,就学到了很多东西。因此,我同意很难仅从一本有很多空白的书中很好地学习一门学科,但也许不可能从其作者并未真正理解该书的源中深入学习它。

    我也同意EGA这本书既详尽又由专家撰写,因此也许你们中的某些人会比我本人受益更多。我仍然很乐意推荐使用Mumford作为EGA指南。谢谢你!也许现在我会接受自己的建议,然后自己重 试! (但是当然,请记住,EGA从未完成,因此,即使对于那些作者最重要的结果,也不能将其用作唯一来源)。

    我仅在非常简短的摘录中看到过另一本书,但亚马逊评论家非常喜欢这本书,以下是一本书,它似乎非常详细,由专业算术几何学家撰写:该书也以40%的价格出售在接下来的几周内停止施普林格。
    / us / book / 9783834806765

    自从我推荐专家的书以来,我想提一下一个比EGA基础要好得多的好看的资源,确实根本不考虑方案,但是这是一位顶级专家首次介绍代数几何,他似乎很享受挑战。麻省理工学院的迈克·阿丁(Mike Artin)为初学者撰写的文章(您可能熟悉他出色的本科生抽象代数书):警告该网站可能并不安全。

    /classes/18.721/agnotes-jan18v13.pdf
    这是另一项类似的建议,这是高级专家James Milne开设的代数几何入门课程,但是为初学者编写的。该网站似乎也很安全:
    /math/CourseNotes/AG.pdf
    这两门课程都是由对方案有深刻理解的人撰写的,并且正在编写基本的课程笔记,旨在使以后向方案的过渡自然而然。
     
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    • #46
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    最近,我有机会阅读斯坦福大学Ravi Vakil的一些笔记,该文章链接在第37号文章中。我发现它们确实很棒,现在认为它们可能是想要学习Grothendieck风格方法和思想的人的最佳资源。拉维的著作与1960年代的许多著作完全不同,因为它是面向学习者的,并且充满了如何理解材料的技巧。当然,我也发现Mumford的著作充满了理解的技巧,但是我承认他的红皮书要求比我现有的具有更多代数背景,而且在我多年来阅读本书的过程中,我不得不稍作休息并阅读整本书。交换代数,例如Zariski-Samuel撰写的关于场论的一章,以及Miles Reid撰写的全书《本科交换代数》,以及Dummitt和Foote撰写的关于交换代数的一章。当然,我从阅读中受益匪浅。

    对于那些感兴趣的人,拉维发布了一些"伪讲座" 在他的笔记上,在youtube上:

     
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    • #47
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    你好

    这是学习滑轮几何语言基础的代数几何基础的简短指南。这是关于代数几何入门课程和第二门课程的讲义。这两个注释都受到高度重视。

    本科代数几何-里德(134pg)
    /staff/Miles.Reid/MA4A5/UAG.pdf

    代数几何-Gathmann(138pg)
    /~gathmann/class/alggeom-2019/alggeom-2019.pdf

    代数几何主要基于抽象代数和加特曼的笔记,尤其是大量使用它,尤其是可交换代数。对于那些没有抽象代数背景的人来说,这是一门速成班,内容涉及交换代数。

    团体-德克斯特·蔡(56pg)
    /notes/IA_M/groups.pdf

    组,环和模块-Dexter Chua(96pg)
    /notes/IB_L/groups_rings_and_modules.pdf

    可交换代数-Gathmann(132pg)
    /~gathmann/class/commalg-2013/commalg-2013.pdf

    干杯
     
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    • #48
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    我还会推荐Miles Reid的本科交换代数。
     
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