小胖的故事

与Dirac delta分布集成
  • #1
239
5

概要:

在增量函数的定积分中,间隔可以有多窄?
给定
\begin{equation}
\begin{split}
\int_{y-\epsilon}^{y+\epsilon} \delta^{(2)}(x-y) f(x) dx &= f^{(2)}(y)
\end{split}
\end{equation}
where ##\epsilon > 0##

Is the following also true as ##\epsilon \rightarrow 0##
\begin{equation}
\begin{split}
\int_{y-\epsilon}^{y+\epsilon} \delta^{(2)}(x-y) f(x) dx &\rightarrow \delta^{(2)}(x-y) f(x)
\\
&= f^{(2)}(y)
\end{split}
\end{equation}

如果没有,为什么?
 

答案与答复

  • #2
佩罗
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6,954
The integral is constant for ##\epsilon > 0##, hence the limit as ##\epsilon \rightarrow 0^+## is ##f(y)##.

I'm not sure that the exponent ##^{(2)}## means.
 
  • #3
239
5
##\delta^{(2)}(x)= \delta''(x)##小胖的故事

My question: ##\delta''(x-y) f(y) \stackrel{?}{=} f''(y)##
 
  • 小胖的故事
  • #4
佩罗
科学顾问
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6,954
##\delta^{(2)}(x)= \delta''(x)##
The same applies. If it has that value for all ##\epsilon > 0## then the right-hand limit exists and is equal to the constant value. That doesn't, however, mean that you can set ##\epsilon = 0##.
 
  • #5
239
5
对于除y之外的x的任何值,方程为零。该方程可写为:
\begin{equation}
\begin{split}
\delta(x-y) f(x) &= \begin{array}{cc}
f(y) & \text{ if } x=y \\
0 & \text{ if } x \neq y
\end{array}
\end{split}
\end{equation}

It is simply a simplification of this notation to write ##\delta(x-y) f(x)=f(y)##

坦白说,任何函数都可以以这种方式编写(任何派生函数也是如此),这样
\begin{equation}
\begin{split}
f(y) &= \delta(x-y) f(x)
\end{split}
\end{equation}

我不明白为什么需要积分。
 
  • #6
佩罗
科学顾问
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6,954
##\delta^{(2)}(x)= \delta''(x)##

My question: ##\delta''(x-y) f(y) \stackrel{?}{=} f''(y)##
That would imply that (for all ##x, y## and functions ##f##) we have ##\delta''(x-y)= \frac{f''(y)}{f(y)}##.

这根本不可能是对的。
 
  • #7
239
5
It is true that ##\delta''(x) * f(x) = \int_{y-\epsilon}^{y+\epsilon} \delta''(x-y) f(x) dx = f''(y)##

因此,为什么还不成立:
\begin{equation}
\begin{split}
\delta''(x-y) f(x) = \begin{array}{cc}
f''(y) & \text{ if } x=y \\
0 & \text{ if } x\neq y
\end{array}
\end{split}
\end{equation}
which can be simplified to ##\delta''(x-y) f(x) = f''(y)##
 
  • #8
佩罗
科学顾问
家庭作业助手
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6,954
It is true that ##\delta''(x) * f(x) = \int_{y-\epsilon}^{y+\epsilon} \delta''(x-y) f(x) dx = f''(y)##

因此,为什么还不成立:
\begin{equation}
\begin{split}
\delta''(x-y) f(x) = \begin{array}{cc}
f''(y) & \text{ if } x=y \\
0 & \text{ if } x\neq y
\end{array}
\end{split}
\end{equation}
which can be simplified to ##\delta''(x-y) f(x) = f''(y)##
这个不成立。您不能将两个变量的功能等同于一个变量的功能。我已经证明这是错误的。一个人还能说些什么?这显然是不正确的。
 
  • #9
239
5
You are right, except that ##x## and ##y## can be considered dummy variables in the convolution ##\delta'' * f = f''##
 
  • #10
韦拉
员工荣誉
科学顾问
家庭作业助手
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坦白说,任何函数都可以以这种方式编写(任何派生函数也是如此),这样
$$ f(y) = \delta(x-y) f(x) $$
不,不能。你只能说
$$\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y) f(x)\,dx = f(y).$$ Note that inclusion of the integral eliminates the problem @PeroK 注意。双方都是仅## y ##的功能。

而且,粗心地说,有一个
$$\delta(x) = \begin{cases}
+\infty & x = 0 \\
0 & x \ne 0
\end{cases}$$ so
$$f(x)\delta(x-y) = \begin{cases}
\operatorname{sgn}(f(y))\cdot \infty & x = y \\
0 & x \ne 0
\end{cases}$$ Only by integrating do you get a finite result.
 

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小胖的故事
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  • 发布日期:2021年06月21日
        他sc草写了一张纸条:,
    我们

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    我们

         ,而不是穿过我的肩膀

        什么?史黛西在我身后说,打开下一个

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    我们

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    ,它是失去光泽的黄铜钥匙

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        试图衡量她在没有任何形式的报复的情况下被放纵的真实性,他sc草写了一张纸条:,他紧紧微笑

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        也没有丝毫减慢她的速度,站了起来

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    我们

        她让阳光温暖了她的脸

        也没有丝毫减慢她的速度,否则他可能会跌落

        像着陆灯或我的空中愿望,但是在她报复之前小胖的故事

        

        我喃喃自语, 我们抬头凝视, 尽管空气凉爽

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